- બચપણમાં શાળામાં હોઇએ ત્યારથી બાદબાકીની પ્રક્રિયા યંત્રવત્ કરાવવામાં આવે છે.
- નાની સંખ્યામાંથી મોટી સંખ્યા બાદ ન થાય એટલે આપણે બધા યંત્રવત બાજુના અંક ઉપરથી વદ્દી ૧૦ લઇએ છીએ.
- આપણને પ્રશ્ન થવો જોઇએ કે, દરેક વખતે વદ્દી ૧૦ જ કેમ લેવામાં આવે છે ?
- વદ્દી ૧૦ નું શું રહસ્ય છે?
- 723456 માંથી 589657 બાદ કરવાનો એક દાખલો ગણીને તેના આધારે ૧૦ ની વદ્દીનું રહસ્ય સમજવા પ્રયત્ન કરીએ.
વદ્દી |
|
10 |
10 |
10 |
10 |
|
6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
10 |
|
minus |
7 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5 |
8 |
9 |
6 |
5 |
7 |
|
Ans. |
1 |
3 |
3 |
7 |
9 |
9 |
-
એકમના અંક ૬(છ) માંથી ૭(સાત) ન જાય
-
માટે તરત ડાબી બાજુના દશકમાં આવેલા ૫ (પાંચ) ઉપરથી ૧૦ ઉછીના લઇ એકમના અંક ૬ ઉપર મૂક્યા.
-
દશકમાં આવેલા પ (પાંચ) ચેકીને તેની ઉપર ૪ (ચાર)લખ્યા.
-
હવે, એકમના ૧૬ (૧૦+૬) માંથી ૭ બાદ કરી નીચે ૯ લખ્યા.
હવે, દશકમાંના ૪ માંથી પ (પાંચ) બાદ ન થાય.
-
માટે તરત ડાબી બાજુના શતકમાં આવેલા ૪ ઉપરથી ૧૦ ઉછીના લઇ દશકના અંક ૪ ઉપર મૂક્યા.
-
શતકમાં આવેલા ૪ ચેકીને તેની ઉપર ૩ લખ્યા.
-
હવે, દશકના ૧૪ (૧૦+૪) માંથી ૫ બાદ કરી નીચે ૯ લખ્યા.
-
હવે, શતકના અંક ૩ માંથી ૬ ન જાય
-
માટે તરત ડાબી બાજુના હજારમાં આવેલા ૩ ઉપરથી ૧૦ ઉછીના લઇ શતકના અંક ૩ ઉપર મૂક્યા.
-
હજારમાં આવેલા ૩ ચેકીને તેની ઉપર ૨ (બે) લખ્યા.
-
હવે, શતકના ૧૩ (૧૦
+૩) માંથી ૬ બાદ કરી નીચે ૭ લખ્યા.
-
હવે, હજારના અંક ૨ માંથી ૯ ન જાય માટે
-
તરત ડાબી બાજુના લાખમાં આવેલા દશ હજારના ૨ ઉપરથી ૧૦ ઉછીના લઇ હજારના અંક ૨ ઉપર મૂક્યા.
આ રીતે આપણે દશહજાર, લાખ, દશલાખ બધા અંકો વિષે બાદબાકી કરીએ છીઅે.
વદ્દી ૧૦ નું શું રહસ્ય છે?
શતકમાં આવેલા ૪ ની સ્થાન કિંમત ૪૦૦ થાય.વદ્દી તરીકે ૧૦ ની પાછળનો આ રહ્યો તાર્કીક અને ગાણિતીક ખુલાસો.
એકમના અંક ૬(છ) માંથી ૭(સાત) ન જાય
-
માટે તરત ડાબી બાજુના દશકમાં આવેલા ૫ (પાંચ) ઉપરથી ૧૦ ઉછીના લઇ એકમના અંક ૬ ઉપર મૂક્યા.
-
દશકમાં આવેલા પ (પાંચ) ચેકીને તેની ઉપર ૪ (ચાર)લખ્યા.
-
દશકમાં આવેલા પ (પાંચ) ની સ્થાન કિંમત ૫૦ થાય.
-
દશકમાં આવેલા આ ૫૦ ના પ્રથામ આપણે બે ભાગ પાડીએ
(૧) ૪૦, અને (ર) ૧૦. -
આ બે ભાગમાંથી એક ભાગ ૧૦ ને એકમ ઉપર વદ્દી તરીકે મૂક્યા.
-
બીજો ભાગ ૪૦ બાકી રહ્યો. જેને દશકમાં આવેલા ૫ (પાંચ) ચેકીને, બીજા શબ્દોમાં એક ઘટાડીને, ૪ તરીકે મૂક્યા છે.
-
દશકમાં મૂકેલા તે ૪ ની સ્થાન કિંમત ૪૦ થઇ.
-
આમ, વદ્દી લીધા પછી પણ આપણે દશકમાં આવેલા ૫ (પાંચ) (જેની સ્થાનકિંમત ૫૦ થાય) તેના બે ભાગ પાડ્યા હતા. (૧)૪૦, અને (૨) ૧૦ જળવાઇ રહ્યા છે.
-
હવે, દશકના સ્થાનમાંંઆવેલા ૪ માંથી પ (પાંચ) બાદ ન થાય.
-
માટે તરત ડાબી બાજુના શતકમાં આવેલા ૪ ઉપરથી ૧૦ ઉછીના લઇ દશકના અંક ૪ની ઉપર લખ્યા – મૂક્યા.
-
શતકમાં આવેલા ૪ ચેકીને તેની ઉપર ૩ લખ્યા.
-
હવે, દશકના ૧૪ (૧૦+૪) માંથી ૫ બાદ કરી નીચે ૯ લખ્યા.
-
આપણે શતકમાં આવેલા આ ૪૦૦ ના બે ભાગ પાડીએ
(૧) ૩૦૦, અને (ર) ૧૦૦. -
દશકમાં જે કોઇ સંખ્યા હોય તેની સ્થાન કિંમત મેળવવા તે અંક ઉપર એક મીંડુ ચઢાવીએ છીએ.
-
(૧) ૩૦૦, અને (ર) ૧૦૦ આ બે ભાગમાંથી એક ભાગ ૧૦૦ ને દશક ઉપર વદ્દી ૧૦ તરીકે મૂક્યા. કારણ કેેે, દશકમાં વદ્દી તરીકે આવેલા ૧૦ ની સ્થાન કિંમત મેળવવા ૧૦ ઉપર એક શૂન્ય ચઢાવીએ એટલે સ્થાનકિંમત ૧૦૦ મળે.
-
બીજો ભાગ ૩૦૦ બાકી રહ્યો. જેને શતકમાં માં આવેલા ૪ ચેકીને, બીજા શબ્દોમાં એક ઘટાડીને, ૩ તરીકે મૂક્યા છે.
-
શતકમાં મૂકેલા તે ૩ ની સ્થાન કિંમત ૩૦૦ થઇ.
-
આમ, શતકનો અંક ૪ હતો એટલે તેની સ્થાન કિંમત ૪૦૦ હતી.
-
વદ્દી તરીકે ૧૦ને દશક ઉપર લઇ ગયા, તેની સ્થાન કિંમત ૧૦૦. વદ્દી લેતાં શતકના ૪ ચેકીને ૩ લખ્યા, એ ૩ ની સ્થાન કિંમત ૩૦૦.
-
આમ, વદ્દી ૧૦ ને દશકના અંક ઉપર મૂકી છે. માટે તેની સ્થાન કિંમત (જે આંકડો (૧૦) હોય તેની ઉપર એક મીંડુ ચઢાવતા) ૧૦૦ થાય.
-
એ જ રીતે વદ્દી ૧૦ ને શતકના અંક ઉપર મૂકીશું તો તેની સ્થાન કિંમત (જે આંકડો (૧૦)હોય તેની ઉપર બે મીંડા ચઢાવતા)૧૦૦૦ થાય.
-
એ જ રીતે વદ્દી ૧૦ ને હજારના અંક ઉપર મૂકીશું તો તેની સ્થાન કિંમત (જે આંકડો (૧૦) હોય તેની ઉપર ૩ મીંડા ચઢાવતા)૧૦૦૦૦ થાય.
-
એ જ રીતે વદ્દી ૧૦ ને દશ હજારના અંક ઉપર મૂકીશું તો તેની સ્થાન કિંમત (જે આંકડો (૧૦) હોય તેની ઉપર ૪ મીંડા ચઢાવતા)૧૦૦૦૦૦ થાય.
-
એટલે હંમેશા વદ્દી ૧૦ આવે. સ્થાન કિંમત જોતાં મૂળ રકમ પણ જળવાઇ રહે છે.
-
દરેક કિસ્સામાં જે અંક ઉપરથી વદ્દી લેવામાં આવે તે અંકમાંથી એક ઓછો કરીને મૂળ અંકને ચેકીને તેની ઉપર એક ઘટાડીને અંક લખીએ.
-
ચેકીને લેખેલા જે તે અંકની સ્થાન કિંમત અને તરત જમણી બાજુના અંક ઉપર વદ્દી ૧૦ તરીકે મૂકેલા ૧૦ ની સ્થાન કિંમત એ બેનો સરવાળો કરીએ એટલે જે તે અંકની મૂળ કિંમત જળવાઇ રહે.
-
આ જ રીતે પછીની બાદબાકીની પ્રક્રિયા ચાલ્યા કરે છે. અને જ્યાંથી વદ્દી લેવામાં આવે તેમાં એક ઓછો કરીને તેની ઉપર લખીએ અને તરત જમણી બાજુના અંક ઉપર વદ્દી તરીકે ૧૦ મૂકીએ છીએ.
-
વિચારો….
-
બાદબાકી કરવાની પ્રક્રિયાને સરળ બનાવવા માટે જેણે સૌ પ્રથમ વખત વિચાર કર્યો હશે, તેની વિચારસરણીને ધન્યવાદ આપવા પડે એવી આ બાબત છે.
મને એમ કે કાંક નવી ફિલસુફી લાવ્યા હશો!
પણ લો, હવે ચપટીક ચિંતન …
ગણિત / વિજ્ઞાન નિયમો અને નિયમનોના આધાર પર રચાયેલાં છે. એ નિયમો પાળવા જ રહ્યા. પણ એ નિયમોની પણ મર્યાદા હોય છે એ અમુક સંદર્ભ અને પરિપ્રેક્ષ્યમાં જ સાચા હોય છે.
દા.ત. આ હું જે કામી લખી રહ્યો છું – અથવા કોમ્પ્યુટર પર દાખલા ગણાય છે – એ દશક પધતિ નથી વાપરતા. ત્યાં બે જ આંકડા હોય ્છે – ૧ અને ૦.
એના થકી દાખલા જ નહીં, ચિત્રો પણ દોરાય છે,, વિડિયો પણ નાચવા લાગે છે અને માણ્સનું મન ઉકેલી ન શકે તેવા અટપટા કોયડા પંણ ઉકેલાય છે ! એમાં એક chaos theory પણ છે – ગણિતમાં chaos !
અને એ ૧ અને ૦ એટલે હોવાપણું અને ન હોવાપણું !
ખરેખર તો એજ એક માત્ર હકીકત છે –
કશુંક , ક્યાંક, ક્યારેક છે અથવા નથી !
અને કશુંક એવું ય છે. જેને હોવાપણું કે ન હોવાપણું પણ નથી હોતું !
એકમાત્ર સત્ય એ છે કે, બધું, બધે, સદા બદલાતું રહે છે !
‘બાઈટ’ વિશે ચિંતન ઈમેલથી ….
ધોરણ ૧૨ ના એક વિદ્યાર્થીને મારે એકાઉન્ટ ભણાવવાનું હતું. તે નાપાસ થયો હતો. ઘણો નબળો પણ હતો. ઓળખીતાનો દિકરો હતો. School going children ને ભણાવવાનું બંધ કર્યે વર્ષો થયા છતાં મારે તેને ભણાવવાનો હતો. ભણાવતા ભણાવતા છેક પાયામાં જવાનું જરૂરી લાગ્યું. ધોરણ ૭ અને ૮ નું ગણિત પણ ભણાવવું પડે એવો ખેલ થયો. બાદબાકીની પ્રક્રિયા પણ ધોરણ ૧૨ ના એ જણને શીખવવી પડે એવો સીનાયારો હતો. લીધેલા કામમાં નિષ્ફળ ના જવાની જીદ્દે મને ઘણી બધી ખોટી મહેનત કરાવી છે. (નરી મજૂરી એજ જીવનઃ એક અલગ વાત છે.) પણ આ દરમિયાન શીખવતા શીખવતા બાદબાકીની વદ્દી ૧૦ વાળી બાબતે મારા મનમાં ઝબકારો થયો અને યંત્રવત્ થતી આ પ્રક્રિયાનું રહસ્ય ખુલ્યું. અને અભિભૂત થઇ ગયો.
બાદબાકી કરવાની પ્રક્રિયાને સરળ બનાવવા માટે જેણે સૌ પ્રથમ વખત વિચાર કર્યો હશે, તેની વિચારસરણીને ધન્યવાદ આપવા પડે એવી આ બાબત છે.
જેણે સૌ પ્રથમ વખત સાયકલ બનાવીને ચાલવા કરતાં પણ ઝડપથી પરીવહનનો ખ્યાલ સાકાર કર્યો હશે, તેણે કેટલી મથામણ કરી હશે?
સાયકલ શીખતા દિવસો અને મહિનાઓ જાય છે. પણ એ તો ખબર છે કે, સમય જતાં સાયકલ સ્થિરતાપૂર્વક દોડશે. પણ જેણે પહેલ કરી હશે, એને તો સલામ જ આપવી પડે ને?
મુરબ્બી અને પ્રિય સુરેશભાઇ, આપે બહુ ઝડપથી વાંચીને કોમેન્ટ આપી તે બદલ આભાર.
ગણિતની આ બાબતને શબ્દસ્થ કરવામાં ય ખાસ્સી મૂંઝવણ અનુભવવી પડી છે. તેને એડીટ પણ ઘણી વાર કર્યુ છે. અગાઉ કરતાં થોડું ટુંકુ અને સરળ બનાવવાની દિશામાં એડીટના પ્રયત્નો થયા છે.
આપનો આભાર, સુરેશભાઇ ( દાદા – ઉંમરના નહીં, પણ ….ગુજરાતી બ્લોગ જગતના અગ્રેસર એવા દાદા…)